a: \(\left(a+2\right)^2-\left(a-2\right)^2\)

\(=a^2+4a+4-a^2+4a-4=8a⋮4\)

b: \(\Leftrightarrow n^3-n^2+3n^2-3n+2⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;3;-1\right\}\)

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Ba số trên là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 ( Ví dụ : 1.2.3= 6 chia hết cho 6 )

\(\Rightarrow n^3-n⋮6\)

n^3 - n 

= n( n^2 - 1 )

Xét 2 trường hợp :

1 . n là số chẵn

ð  n( n^2 – 1 ) chia hết cho 2

2 . n là số lẽ

=>  n^2 – 1 là số chẵn

=>  n( n^2 – 1 ) chia hết cho 2

Vậy n^3 – n chia hết cho 2

Có n^3 – n = n( n^2 – 1 ) = n( n + 1 )( n – 1 )

Vì n , n + 1 và n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

=>  n^3 – n chia hết cho 3

Vì n^3 – n cùng chia hết cho cả 3 và 2

=>  n^3 – n chia hết cho 6

n/3 + n^2/2 + n^3/6

= 2n/6 + 3n^2/6 + n^3/6

= 2n + 3n^2 + n^3 / 6

= ( 2n + 2n^2 )  + ( n^2 + n^3 ) / 6 ( Tách 3n^2 = n^2 + 2n^2 )

= 2n( n + 1 ) + n^2( n + 1 ) / 6

= ( n + 1 )( 2n + n^2 ) / 6

= n( n + 1 )( n + 2 ) / 6

Vì n , n+1 và n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

=>  n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 3

Trong 3 số nguyên liên tiếp luôn tồn lại 1 số chẵn

=> n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 2

Vì n( n + 1 )( n + 2 ) cùng chia hết cho 2 và 3

=> n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 6

=> n( n + 1 )( n + 2 ) = 6k ( k\(\in Z\))

Vậy n(n + 1 )( n + 2 )/6 = 6k/6 = k hay chúng luôn nguyên .

mình nghĩ đề là tìm n nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên nhé

Ta có : \(B=\dfrac{2n+1}{n-2}=\dfrac{2\left(n-2\right)+5}{n-2}=2+\dfrac{5}{n-2}\)

Vì 2 nguyên nên \(\dfrac{5}{n-2}\)cũng nguyên 

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

BN thử vào câu hỏi tương tự xem có k?

Nếu có thì bn xem nhé!

Nếu k thì xin lỗi đã làm phiền bn

Hội con 🐄 chúc bạn học tốt!!!

để A có giá trị nguyên thì 3 chia hết cho n+1

suy ra n+1 thuộc Ư[3]={1,-1,3,-3}

bảng giá trị

n+1     1      -1       3        -3

n          0       -2      2         -4

vậy n thuộc {-4;-2;0;2}thì A là số nguyên

Cảm ơn bn rất nhiều! 

Giải:

Để A=3/n+1 đạt giá trị nguyên thì 3 ⋮ n+1

3 ⋮ n+1

⇒n+1 ∈ Ư(3)={-3;-1;1;3}

Ta có bảng giá trị:

n+1=-3 ➜n=-4

n+1=-1 ➜n=-2

n+1=1 ➜n=0

n+1=3 ➜n=2

Vậy n ∈ {-4;-2;0;2}

Chúc bạn học tốt!